Un exercice « Raisonner »
Exercice
Rappel : les rationnels sont les réels qui s’écrivent comme quotient de deux entiers, et les irrationnels sont tous autres.
- Soit {a} un entier. Montrer que si {a^2} est pair alors {a} est pair.
- Soit {x} un réel. Montrer que si {x^2} est irrationnel alors {x} est irrationnel.
- Montrer que {\sqrt2} est un irrationnel.
(Nb : la réciproque de la question précédente est donc fausse).
- Plus généralement, montrer que pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, {\sqrt{n}} est un entier ou est irrationnel.
- Soient {m,n} dans {\mathbb{N}^*}. On suppose que {m,n} ne sont pas des carrés.
Montrer que {\sqrt{m}+\sqrt{n}} est irrationnel.
- Montrer que {x=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} est irrationnel.
- Montrer que {x=\sqrt[3]{2}+\sqrt3} est irrationnel.
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- On procède par contraposition.
On suppose donc que {a} est impair, c’est-à-dire s’écrit {a=2b+1}, avec {b\in\mathbb{Z}}.
Alors {a^2=4b^2+4b+1=2c+1} où {c=2b^2+2b\in\mathbb{Z}}, donc {a^2} est impair.
Par contraposition, on en déduit que si {a^2} est pair, alors {a} est pair (c’était facile!)
- Par contraposition, il revient au même de montrer que si {x} est rationnel alors {x^2} est rationnel.
Mais c’est évident, car si {x=\dfrac{a}{b}} (avec {a\in\mathbb{Z},\;b\in\mathbb{N}^*}), alors {x^2=\dfrac{a^2}{b}} est rationnel.
- On suppose par l’absurde que {\sqrt2} s’écrit {\sqrt2=\dfrac{a}{b}}, avec {a,b} dans {\mathbb{N}^*}.
Quitte à simplifier la fraction, on suppose que {a,b} sont premiers entre eux.
On a {a^2=2b^2}, donc {a^2} est pair, donc {a} est pair (question 1). Soit {c} dans {\mathbb{N}^*} tel que {a=2c}.
L’égalité {a^2=2b^2} devient {4c^2=2b^2}, donc {b^2=2c^2} est pair, donc {b} est pair.
Ainsi {a,b} sont pairs tous les deux (donc non premiers entre eux), ce qui constitue une contradiction.
En conclusion, {\sqrt2} est un irrationnel.
- Soit {n} dans {\mathbb{N}^*}. Si {n} est un carré parfait ({n=m^2} avec {m\in\mathbb{N}^*}), alors {\sqrt n=m\in\mathbb{N}}.On suppose maintenant que {n} n’est pas un carré parfait.
Par l’absurde, on suppose que {\sqrt n} est rationnel.
Il existe donc {a,b} dans {\mathbb{N}^*} (premiers entre eux) tels que {\sqrt n=\dfrac ab} donc {a^2=nb^2}.
Puisque {n} n’est pas un carré parfait, on a {n\ge2} et l’un au moins des facteurs premiers {p} de {n} est présent dans la décomposition de {n} avec un exposant impair.
Ainsi l’entier {p} divise {n}, donc divise {nb^2=a^2}. Comme {p} est premier et qu’il divise {a^2}, il divise {a}.
L’entier {p} apparaît alors dans la décomposition de {a^2} avec un exposant pair, et il apparaît dans la décomposition de {nb^2} avec un exposant impair : c’est contradictioire.
Conclusion : si {n} n’est pas un carré parfait, alors {\sqrt n} est irrationnel.
- On se donne {mn} dans {\mathbb{N}^*}, et on suppose que ni {m} ni {n} ne sont des carrés d’entiers.
Par l’absurde, on suppose que {r=\sqrt m+\sqrt n} est rationnel.
Alors {r^2=m+n+\sqrt{mn}} est rationnel, donc {\sqrt{mn}} aussi.
Ainsi {mn} est un carré, et on écrit {mn=a^2}, avec {a\in\mathbb{N}^*}.
On a alors : {r=\sqrt m+\sqrt n=\dfrac{a}{\sqrt n}+\sqrt{n}=\dfrac{a+n}{\sqrt n}}.On constate alors que {\sqrt n=\dfrac{a+n}r} est un rationnel. Ainsi {n} est un carré, ce qui est contradictoire.
Conclusion : si {m} et {n} ne sont pas des carrés parfaits, alors {\sqrt m+\sqrt n} est irrationnel.
- On suppose par l’absurde que {x=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} est rationnel.
On a {(x-\sqrt2)^2=(\sqrt3+\sqrt5)^2} c’est-à-dire {x^2+2-2x\sqrt2=8+2\sqrt{15}}.
Ainsi le réel {y=x\sqrt2+\sqrt{15}=\dfrac{1}{2}\Bigl(x^2-6\Bigr)} est rationnel.
Donc {y^2=2x^2+15+2x\sqrt{30}} est rationnel, donc {\sqrt{30}=\dfrac{y^2-2x^2-15}{2}} est rationnel.
Mais c’est contradictoire car {30} n’est pas un carré parfait.
En conclusion : {x=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} est un irrationel.
- Supposons par l’absurde que {x=\sqrt[3]{2}+\sqrt3} est rationnel.
Alors {2=(x-\sqrt 3)^3=x^3-3x^2\sqrt3+9x-3\sqrt3=(x^3+9x)-3(x^2+1)\sqrt3}.
Il en résulte que {\sqrt 3=\dfrac{x^3+9x-2}{3(x^2+1)}} est rationnel, ce qui est absurde.
Conclusion : {x=\sqrt[3]{2}+\sqrt3} est irrationnel.
