Deux exercices « Dénombrer »
Exercice
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De combien de façons différentes peut-on placer {n} personnes autour d’une table ronde ?
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De combien de façons différentes peut-on placer {n} hommes et {n} femmes autour d’une table ronde, de façon à respecter l’alternance homme/femme ?
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Il faut placer l’un des convives au hasard, puis décider qui viendra à sa droite ({n-1} possibilités), puis qui viendra à la droite de ce dernier ({n-2} possibilités), etc, jusqu’à placer le dernier convive (à la droite de l’avant-dernier à avoir été placé).
Le nombre de solutions distinctes est donc {(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1=n!}.
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On commence par placer les {n} femmes autour de la table (en imaginant qu’on laisse une place vide entre deux).
On choisit une place libre (toutes ne se valent pas car les femmes sont déjà placés) et on y place un premier hommes (il y a pour cela {n} possibilités).
On place ensuite les {n-1} hommes restants (choisir qui vient à la première place libre à droite du premier homme, ce qui fait {n-1} possibilités, et ainsi de suite).
Il y a ainsi {n(n-1)\cdots2\cdot 1=n!} façons de placer les {n} hommes autour de la table (dans les {n} places libres sachant que les femmes sont déjà placées).
Finalement, il y a {n!(n-1)!} façons de choisir le placement des {n} hommes et des {n} femmes.
Exercice
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De combien de façons peut-on ranger dix chemises différentes dans sept tiroirs?
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De combien de façons peut-on ranger trois voitures sur cinq places de parking?
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De combien de façons peut-on distribuer dix places de théatre à dix personnes?
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Combien peut-on former de nombres différents de huit chiffres avec cinq « 1 » et trois « 2 »?
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Si on numérote les tiroirs de {1} à {7}, il s’agit de former toutes les {10}-listes {(n_1,n_2,\ldots,n_{10})} de {[[ 1,7]]}, en notant {n_k} le numéro du tiroir où on range la {k}-ème chemise (on suppose bien sûr qu’un même tiroir peut contenir toutes les chemises).
Le nombre de solutions est donc {7^{10}=282475249}.
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Le problème est analogue à une grosse différence près: on ne peut pas mettre deux voitures sur la même place! Une répartition des {3} voitures sur les {5} places est donc une {3}-liste d’éléments distincts de {[[ 1,5]]}.
Le nombre de solution est donc {\dfrac{5!}{(5-3)!}=\dfrac{120}{2}=60}.
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Il y a autant de solutions qu’il y a de permutations {(t_1,t_2,\ldots,t_{10})} d’un ensemble {10} éléments (en notant {t_i} le numéro de la place attribuée au {i}-ème spectateur). Le nombre de solutions est donc {10!=3628000}.
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Il y a donc autant de solutions qu’il y a de manières de choisir la position (parmi {8} possibles) des trois chiffres deux, c’est-à-dire autant que de {3}-combinaisons d’un ensemble à {8} éléments, c’est-à-dire {\dbinom{8}{3}=56}.
